• 1. Hệ trực chuẩn, ma trận trực giao
• 5. Đánh giá và kết luận
• 6. Tham khảo

1. Hệ trực giao, trực chuẩn

Một tập hợp {${\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \dots, \mathbf{a}_n}$} $\in \mathbb{R}^{m}$ được gọi là hệ trực giao (orthogonal/mutually orthogonal) nếu mỗi $\mathbf{a_i} \perp \mathbf{a_j}$ với: $i \neq j$ và $i,j \leq n$. Một tập hợp được gọi là hệ trực chuẩn (orthonormal) nếu đó là một hệ trực giao và norm 2 của mỗi vector = 1. Công thức về hệ trực chuẩn được đơn giản hóa như sau:

\[\mathbf{a_i}^T \mathbf{a_j}= \begin{cases} 1, & i = j\\ 0, & i \neq j \end{cases}\]

Một ví dụ về hệ trực chuẩn đó là tập hợp các vector đơn vị (unit vectors) {${\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n}$}, trong không gian 2D như sau:

Hình 1: Hệ trực chuẩn

Hệ trực chuẩn là một hệ độc lập tuyến tính. Thật vậy, giả sử ta có một tập hợp vector {${\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \dots, \mathbf{a}_n}$} là một hệ trực chuẩn và các hệ số tương ứng $k_1,k_2,…k_n$, phương trình:

\[k_1\mathbf{a_1} + k_2\mathbf{a_2} +...+ k_n\mathbf{a_n} = 0\]

Nhân inner product cả 2 vế với $\mathbf{a_i}$ ta được:

\[\mathbf{a_i}^T(k_1\mathbf{a_1} + k_2\mathbf{a_2} +...+ k_n\mathbf{a_n}) = 0\] \[k_1(\mathbf{a_i}^T \mathbf{a_1}) + k_2(\mathbf{a_i}^T \mathbf{a_2}) + ... + k_n(\mathbf{a_i}^T \mathbf{a_n}) = 0\] \[k_i = 0\]

Qua đây ta thấy chỉ tồn tại duy nhất một tập hệ số $k_1 = k_2 = … = k_n = 0$ là nghiệm cho phương trình trên, vì vậy tổ hợp tuyến tính duy nhất của hệ trực chuẩn là 0. Và hệ trực chuẩn là một hệ độc lập tuyến tính.

Top